01

必修 · 第一册

01集合与常用逻辑用语

Sets & Common Logic

集合的概念

• 元素三特性：确定性、互异性、无序性
• 表示法：列举法、描述法；元素关系 a ∈ A / a ∉ A
• 常用数集：N（自然数）N*（正整数）Z Q R

关系与运算

• 子集 A ⊆ B，真子集 A ⊂ B（A ≠ B）；空集 ∅
• 交 A ∩ B、并 A ∪ B、补 C_UA
• n 元集合的子集共 2ⁿ 个，真子集 2ⁿ − 1 个

充分条件与必要条件

• p ⇒ q：p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
• p ⇔ q：互为充要条件
• 集合视角：小范围 ⇒ 大范围

全称量词与存在量词

• 全称命题 ∀x ∈ M, p(x)；存在命题 ∃x ∈ M, p(x)
• 否定规则：∀ 变 ∃，∃ 变 ∀，否定结论

易错 · 要点空集是任何集合的子集、任何非空集合的真子集；A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B；注意「命题的否定」与「否命题」不是一回事。

02

必修 · 第一册

02一元二次函数、方程与不等式

Quadratic Functions, Equations & Inequalities

不等式的性质

• 传递性、可加性；同乘负数，不等号变向
• 比较大小：作差法（配方 / 因式分解判号）

基本不等式

• √ab ≤ a + b2（a > 0, b > 0）
• 求最值三条件：一正、二定、三相等
• 链式：√ab ≤ (a+b)/2 ≤ √((a²+b²)/2)

二次函数与方程

• 判别式 Δ = b² − 4ac 判定根的个数
• 韦达定理：x₁ + x₂ = −ba，x₁x₂ = ca

一元二次不等式

• 图象法三步：开口 → Δ → 根
• a > 0 时：大于取两边，小于取中间
• 分式 / 高次 / 绝对值不等式：化归为整式讨论

易错 · 要点用基本不等式求最值，必须验证等号能取到；含参数的讨论 Δ 与开口方向。

03

必修 · 第一册

03函数的概念与性质

Concept & Properties of Functions

函数的概念

• 三要素：定义域、值域、对应法则；同一函数看三要素
• 分段函数：分段讨论，注意端点归属
• 定义域优先：分母 ≠ 0、偶次根号下 ≥ 0、真数 > 0

单调性与最值

• 判定：定义法（作差比较）、图象法、导数法
• 复合函数单调性：同增异减
• 最值：单调区间端点 + 顶点综合比较

奇偶性

• 奇：f(−x) = −f(x)（关于原点对称）
• 偶：f(−x) = f(x)（关于 y 轴对称）
• 大前提：定义域关于原点对称；奇函数若 0 在定义域，则 f(0) = 0

幂函数与图象变换

• 幂函数 y = x^α：α 定图象形态，恒过 (1, 1)
• 平移：左加右减（x），上加下减（y）
• 翻折：|f(x)| 下翻上；f(|x|) 右翻左

易错 · 要点判断奇偶性先看定义域；抽象函数常用赋值法；单调性是区间概念，须指明区间。

04

必修 · 第一册

04指数函数与对数函数

Exponential & Logarithmic Functions

指数运算

• a^m · aⁿ = a^m+n　(a^m)ⁿ = a^mn　(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• 分数指数幂：a^m/n = ⁿ√a^m（a > 0）

指数函数 y = a^x

• 底数 a > 0 且 a ≠ 1；恒过定点 (0, 1)
• a > 1 单调递增；0 < a < 1 单调递减；值域 (0, +∞)

对数运算

• log_a(MN) = log_aM + log_aN
• log_aMⁿ = n·log_aM；恒等式 a^log_aN = N
• 换底公式：log_ab = lg blg a

对数函数与零点

• y = log_ax 恒过 (1, 0)，与 y = a^x 关于 y = x 对称（互为反函数）
• 零点存在定理：连续 + f(a)·f(b) < 0 ⇒ 区间内有零点（二分法求近似）

易错 · 要点对数真数恒大于 0；比较大小常借助中间量 0、1；含底数参数务必分类讨论 a > 1 与 0 < a < 1。

05

必修 · 第一册

05三角函数

Trigonometric Functions

任意角与弧度制

• 180° = π rad；弧长 l = |α|·r，扇形面积 S = ½·l·r
• 终边相同角：β = α + 2kπ, k ∈ Z

定义与同角关系

• sin α = y/r，cos α = x/r，tan α = y/x
• 象限符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
• sin²α + cos²α = 1　tan α = sin α / cos α

诱导公式与图象性质

• 口诀：奇变偶不变，符号看象限
• 正余弦：周期 2π；正切：周期 π，定义域 x ≠ π/2 + kπ
• 对称轴、对称中心、单调区间——结合图象记忆

y = A sin(ωx + φ) 与恒等变换

• 振幅 A；周期 T = 2π / |ω|；平移「左加右减」
• 和差倍角公式；辅助角公式 a sin x + b cos x = √a²+b²·sin(x+φ)

易错 · 要点给值求值先确定角的范围再定符号；由图象求解析式：A 看振幅、ω 看周期、φ 代特殊点。

06

必修 · 第二册

06平面向量及其应用

Plane Vectors & Applications

概念与线性运算

• 零向量、单位向量、相等 / 共线向量
• 加减：三角形法则、平行四边形法则；数乘 λa
• 共线定理：b = λa（a ≠ 0）

坐标运算

• 基本定理：不共线基底可表示平面内任一向量
• a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
• 模长 |a| = √x² + y²

数量积

• a·b = |a||b|cos θ = x₁x₂ + y₁y₂
• 垂直 ⟺ a·b = 0；平行 ⟺ x₁y₂ − x₂y₁ = 0

解三角形

• 正弦定理：a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
• 余弦定理：a² = b² + c² − 2bc·cos A
• 面积 S = ½·ab·sin C

易错 · 要点解三角形「知三求三」，已知两边一对角时注意多解讨论；向量夹角与三角形内角可能互补。

07

必修 · 第二册

07复数

Complex Numbers

概念

• 虚数单位 i² = −1；代数形式 z = a + bi
• 实部 a、虚部 b；纯虚数 ⟺ a = 0 且 b ≠ 0
• 复数相等 ⟺ 实部、虚部分别相等

四则运算

• 加减：实部、虚部分别相加减
• 除法：分母实数化（同乘共轭）
• i 的幂以 4 为周期：i, −1, −i, 1…

几何意义

• 复平面对应点 Z(a, b) 与向量 OZ→
• 模 |z| = √a² + b²；共轭 z̄ = a − bi
• z · z̄ = |z|²

易错 · 要点虚数不能比较大小；分母含 i 先实数化；注意虚部是不带 i 的实数 b。

08

必修 · 第二册

08立体几何初步

Introduction to Solid Geometry

空间几何体

• 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、球的结构特征
• 直观图：斜二测画法；三视图：长对正、高平齐、宽相等

表面积与体积

• V柱 = S·h　V锥 = ⅓·S·h
• V球 = (4/3)πR³　S球 = 4πR²
• 圆锥侧面积 S = π r l（l 为母线）

点、线、面位置关系

• 四条基本事实（公理）：确定平面、共线共面判定
• 异面直线所成角：平移相交，范围 (0, π/2]

平行与垂直

• 线面平行判定：线线平行 ⇒ 线面平行
• 线面垂直判定：垂直于面内两条相交直线
• 面面平行 / 垂直的判定与性质定理相互转化

易错 · 要点判定定理的条件要记全（如「两条相交直线」缺一不可）；证明书写按「条件 → 结论」规范表述。

09

必修 · 第二册

09统计

Statistics

随机抽样

• 简单随机抽样：抽签法、随机数法
• 分层随机抽样：按比例分配各层样本量

数字特征

• 平均数 x̄、中位数、众数、第 p 百分位数
• 方差 s² = (1/n)·Σ(x_i − x̄)²，标准差 s

统计图表

• 频率分布直方图：纵轴 = 频率 / 组距，矩形面积 = 频率
• 由直方图估计众数、中位数、平均数

易错 · 要点方差（标准差）越小，数据越稳定；直方图面积和为 1，别把纵轴当成频率。

10

必修 · 第二册

10概率

Probability

随机事件

• 样本点、样本空间 Ω；必然 / 不可能 / 随机事件
• 频率稳定于概率：大量重复试验的估计

古典概型

• 条件：有限性 + 等可能性
• P(A) = 事件 A 所含样本点数 / 样本点总数

事件的关系与运算

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• 互斥：A ∩ B = ∅；对立：互斥且并为全集，P(Ā) = 1 − P(A)
• 相互独立 ⟺ P(AB) = P(A)·P(B)

易错 · 要点互斥不一定对立，对立一定互斥；「互斥」与「独立」没有必然联系；复杂事件用对立事件求解更快捷。

11

选择性必修 · 第一册

11空间向量与立体几何

Space Vectors & Solid Geometry

空间向量运算

• 加减、数乘、数量积法则与平面向量一致
• 空间向量基本定理：三个不共面向量可作基底

坐标系与法向量

• 建系：找三条两两垂直的直线
• 平面法向量 n：与面内两不共线向量数量积均为 0

向量法求角

• 线线角：cos θ = |cos〈u, v〉|
• 线面角：sin θ = |cos〈u, n〉|
• 二面角：|cos θ| = |cos〈n₁, n₂〉|，锐钝看图形

向量法求距离

• 点到平面距离：d = |PA·n| / |n|

易错 · 要点线面角用 sin、二面角用 cos，公式别混；法向量方向影响符号，结果结合图形判断。

12

选择性必修 · 第一册

12直线与圆的方程

Equations of Lines & Circles

倾斜角与斜率

• k = tan α（α ≠ 90°），α ∈ [0, π)
• k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

直线方程与位置关系

• 点斜式 y − y₀ = k(x − x₀)；斜截式、一般式
• 平行 ⟺ k₁ = k₂；垂直 ⟺ k₁·k₂ = −1
• 点线距离 d = |Ax₀+By₀+C| / √A²+B²

圆的方程

• 标准式 (x − a)² + (y − b)² = r²
• 一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0（配方化标准）

位置关系

• 直线与圆：比较 d 与 r；弦长 2√r² − d²（垂径定理）
• 圆与圆：圆心距与 R + r、|R − r| 比较

易错 · 要点设直线方程前先讨论斜率是否存在；切线问题注意点在圆上还是圆外（两解）。

13

选择性必修 · 第一册

13圆锥曲线

Conic Sections

椭圆

• 定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a（2a > |F₁F₂|）
• x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0），c² = a² − b²
• 离心率 e = c/a ∈ (0, 1)

双曲线

• 定义：||PF₁| − |PF₂|| = 2a
• x²/a² − y²/b² = 1，c² = a² + b²，e > 1
• 渐近线 y = ±(b/a)x

抛物线

• 定义：到焦点与准线距离相等，e = 1
• y² = 2px：焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2
• 焦点弦长 |AB| = x₁ + x₂ + p

直线与圆锥曲线

• 联立消元 → 一元二次方程 → 韦达定理
• 弦长公式 |AB| = √1 + k²·|x₁ − x₂|
• 点差法处理中点弦斜率

易错 · 要点先看焦点在哪条轴上再设方程；联立后务必检查 Δ > 0；椭圆 a² = b² + c²，双曲线 c² = a² + b²，别记反。

14

选择性必修 · 第二册

14数列

Sequences

数列的概念

• 通项公式与递推公式
• a_n = S_n − S_n−1（n ≥ 2），须验证 a₁

等差数列

• 通项 a_n = a₁ + (n − 1)d
• 前 n 项和 S_n = n(a₁ + a_n)/2
• 等差中项：2b = a + c；若 m+n = p+q 则 a_m+a_n = a_p+a_q

等比数列

• 通项 a_n = a₁·qⁿ⁻¹
• S_n = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q)（q ≠ 1）
• 等比中项：b² = a·c（注意符号讨论）

求和方法

• 公式法、分组求和法
• 裂项相消：如 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)
• 错位相减：等差 × 等比型
• 数学归纳法：奠基 + 递推两步

易错 · 要点由 S_n 求 a_n 必须单独检验 n = 1；等比求和先讨论 q = 1 的情形。

15

选择性必修 · 第二册

15一元函数的导数及其应用

Derivatives & Applications

导数的概念

• 平均变化率 → 瞬时变化率（极限思想）
• 几何意义：切线斜率 k = f′(x₀)

导数的运算

• 基本公式：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹　(e^x)′ = e^x　(ln x)′ = 1/x
• (sin x)′ = cos x　(cos x)′ = −sin x
• 四则运算法则 + 复合函数链式法则

单调性、极值、最值

• f′(x) > 0 ⇒ 单调递增；f′(x) < 0 ⇒ 单调递减
• 极值点处 f′(x₀) = 0（必要不充分，须看两侧变号）
• 闭区间最值：极值与端点值比较

典型应用

• 切线问题：区分「在点」与「过点」
• 恒成立 / 能成立问题 → 转化为最值问题
• 含参讨论：按导函数零点与区间位置分类

易错 · 要点f′(x₀) = 0 不一定是极值点（如 f(x) = x³）；求参数范围注意端点能否取等。

16

选择性必修 · 第三册

16计数原理

Counting Principles

两个基本计数原理

• 分类加法：完成一件事有 n 类办法 → 相加
• 分步乘法：完成一件事需 n 个步骤 → 相乘

排列与组合

• 排列（有序）A(n,m) = n! / (n−m)!
• 组合（无序）C(n,m) = n! / (m!(n−m)!)
• 常用方法：特殊优先、捆绑法、插空法、间接法

二项式定理

• (a + b)ⁿ = Σ C(n,r)·a^n−r·b^r
• 通项 T(r+1) = C(n,r)·a^n−r·b^r 求特定项
• 二项式系数和 Σ C(n,r) = 2ⁿ；赋值法求系数和

易错 · 要点区分「项的系数」与「二项式系数」；平均分组问题要除以重复（如 A(2,2)）。

17

选择性必修 · 第三册

17随机变量及其分布

Random Variables & Distributions

条件概率

• P(B|A) = P(AB) / P(A)
• 全概率公式、贝叶斯公式

离散型随机变量

• 分布列：Σp_i = 1，p_i ≥ 0
• 期望 E(X) = Σ x_ip_i
• 方差 D(X) = E(X²) − [E(X)]²

典型分布

• 二项分布 X ~ B(n, p)：E = np，D = np(1−p)（有放回 / 独立重复）
• 超几何分布：无放回抽取
• 正态分布 N(μ, σ²)：关于 x = μ 对称；3σ 原则

易错 · 要点二项分布与超几何分布的关键区别是有无放回；正态分布概率利用对称性转化。

18

选择性必修 · 第三册

18成对数据的统计分析

Statistical Analysis of Paired Data

相关关系

• 散点图：正相关 / 负相关 / 不相关
• 相关系数 r ∈ [−1, 1]：|r| 越接近 1，线性相关越强

一元线性回归

• 经验回归方程 ŷ = b̂x + â（最小二乘估计）
• 回归直线恒过样本中心点 (x̄, ȳ)
• 残差分析、决定系数 R² 刻画拟合效果

独立性检验

• 2×2 列联表 → 计算 χ² 统计量
• 与临界值比较：χ² 越大，越有把握认为两变量有关联

易错 · 要点相关关系不等于因果关系；独立性检验结论是「有多大把握」，不是「证明」。